Случайные заметки

Правильная теорема о стационарных решения AR-уравнения

Определение. AR(p) уравнением мы будем называть уравнение вида \(y_t = \beta_1 y_{t-1} + \beta_2 y_{t-2} + \ldots + \beta_p y_{t-p} + u_t,\) где $(u_t)$ — белый шум и $t\in \mathbb{Z}$.

Правильная теорема о стационарности решений.

Рассмотрим AR(p)-уравнение при $p\geq 1$.

  1. Существует бесконечное количество нестационарный решений.

  2. Существует не более одного стационарного решения.

  3. Существует ровно одно стационарное решение если, и только если, для всех корней характеристического уравнения $|\lambda_i|\neq 1$.

  4. Если стационарное решение существует, то оно является линейной комбинацией белых шумов.

\[y_t = \ldots + \alpha_2 u_{t-2} + \alpha_1 u_{y-1} + \alpha_0 u_t + \alpha_1 u_{t-1} + \alpha_2 u_{t-2} + \ldots\]
  1. Существует ровно одно стационарное решение, не заглядывающее в будущее, если, и только если, для всех корней характеристического уравнения $|\lambda_i|< 1$. Такое решение имеет вид:
\[y_t = u_t + \alpha_1 u_{t-1} + \alpha_2 u_{t-2} + \ldots\]

Для аккуратности сформулируем определение явно:

Решение AR(p) уравнения называется не заглядывающим в будущее, если оно имеет вид

\(y_t = u_t + \alpha_1 u_{t-1} + \alpha_2 u_{t-2} + \ldots,\) то есть в $y_t$ не входят белые шумы с индексами больше $t$.

В противном случае мы называем решение заглядывающим в будущее.

Пример.

\[y_t = 2 y_{t-1} + u_t\]

Корень характеристического уравнения $\lambda=2$. Стационарное решение есть, единственно, и заглядывает в будущее. Можно явно предъявить решение:

\[y_t = -0.5 u_{t+1} + (-0.5)^2 u_{t+2} + (-0.5)^3 u_{t+3} + \ldots\]

Что нужно знать про лаги?

Лаг $L$ — это линейный оператор на множестве случайных процессов с индексами $t\in \mathbb{Z}$.

Теорема.

Если левую и правую часть $AR(p)$ уравнения домножитьна нетривиальный лаговый полином с корнями $|\ell|\neq 1$, то:

  1. Множество нестационарных решений увеличится.

  2. Количество стационарных решений (ноль или одно) не изменится.

Пример.

При домножении на лаговый полином с корнем $ \ell =1$ может увеличиться и количество стационарных решений.

Уравнение А. \(y_t = u_t\)

По уравнению А видно, что решение единственно.

Домножим левую и правую часть на $\delta = 1- L$. Получим уравнение Б. \((1-L)y_t = (1-L)u_t\)

Или \(y_t - y_{t-1} = u_t - u_{t-1}\)

Появились новые нестационарные решения. Например, $y_t = u_t + u_0 + u_{42}$.

Появились новые стационарные решения. Например, $y_t = 42 + u_t$.