В 1941 году инженер-электрик Вернон Лэндон опубликовал малоизвестный вывод нормального распределения, The Distribution of Amplitude with Time in Fluctuation Noise. Вывод Лэндона пересказал Эдвин Томпсон Джейнс в книге “Теория вероятностей: логика науки”. А это мой пересказ пересказа Джейнса :)
Предположим, что напряжение можно представить в виде основной части и некоторого шума, $V’ = V + \Delta$.
Шум $\Delta$ и основная часть $V$ независимы. Закон распределения $V$ принадлежит семейству распределений, которое полностью определяется дисперсией $Var(V)= \sigma^2$. Другими словами плотность $V$ задаётся формулой $f_V(x\mid \sigma^2)$.
По формуле свёртки получаем:
\[f_{V'}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_V(x-h \mid \sigma^2)f_{\Delta}(h) dh\]Разложим $f_V(x-h \mid \sigma^2)$ в ряд Тейлора по $h$:
\[f_V(x-h \mid \sigma^2) = f_V(x \mid \sigma^2) - h \frac{\partial f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x} + \frac{1}{2!} h^2 \frac{\partial^2 f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x^2} + \ldots\]Подставляем разложение Тейлора в формулу свёртки. Интегрируем каждое слагаемое ряда по отдельности:
\[f_{V'}(x) = f_V(x \mid \sigma^2) \int_{-\infty}^{+\infty} f_{\Delta}(h) dh - \frac{\partial f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x} \int_{-\infty}^{+\infty} h f_{\Delta}(h) dh + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} h^2 f_{\Delta}(h) dh + \ldots\]В терминах ожиданий получаем:
\[f_{V'}(x) = f_V(x \mid \sigma^2) - E(\Delta) \frac{\partial f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x} + \frac{1}{2!} E(\Delta^2) \frac{\partial^2 f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x^2} + \ldots\]Величину шума мы представим в виде $\Delta = \alpha U$ c $E(U)=0$ и $Var(U)=1$. Посмотрим на поведение функции при малом $\alpha$.
\[f_{V'}(x) = f_V(x \mid \sigma^2) + \alpha^2 \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x^2} - \alpha^3 \frac{1}{3!} E(U^3) \frac{\partial^3 f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x^3} + \ldots\]Лэндон предположил, что закон распределения $V’$ принадлежит тому же семейству, что и закон распределения $V$. Заметим, что $Var(V’) = Var(V) + Var(\Delta) = \sigma^2 + \alpha^2$. Значит плотность $f_{V’}(x)$ совпадает с плотностью $f_V(x \mid \sigma^2 + \alpha^2)$.
Прибавление шума к напряжению не изменяет семейства закона распределения, а меняет только дисперсию.
Разложим плотность в ряд Тейлора по $\alpha^2$:
\[f_V(x \mid \sigma^2 + \alpha^2) = f_V(x \mid \sigma^2) + \alpha^2 \frac{\partial f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial \sigma^2} + \frac{1}{2!}\alpha^4 \frac{\partial^2 f_V(x \mid \sigma^2)}{(\partial \sigma^2)^2} + \ldots\]Согласно предпосылкам Лэндона это одна и та же функция, поэтому:
\[\frac{\partial f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial \sigma^2} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_V(x \mid \sigma^2)}{\partial x^2}\]На этом вывод заканчивается. Далее Лэндон ссылается, что это известное уравнение теплопроводности.
Почитать: