2 Вспомнить всё

  1. Найдите длины векторов \(a=(1,1,1)\) и \(b=(1,2,3)\) и косинус угла между ними. Найдите один любой вектор, перпенидкулярный вектору \(b\).

  2. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах и обратную к ней

  3. На плоскости \(\alpha\) лежит прямая \(\ell\). Вне плоскости \(\alpha\) лежит точка \(C\). Ромео проецирует точку \(C\) на прямую \(\ell\) и получает точку \(R\). Джульетта проецирует точку \(C\) сначала на плоскость \(\alpha\), а затем проецирует полученную точку \(A\) на прямую \(\ell\). После двух действий Джульетта получает точку \(D\). Обязательно ли \(R\) и \(D\) совпадают?

  4. Для матрицы \[ A=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ \end{pmatrix} \]

    • Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
    • Найдите \(\det (A)\), \({\mathrm{tr}}(A)\)
    • Найдите собственные числа матрицы \(A^{2016}\), \(\det (A^{2016})\) и \({\mathrm{tr}}(A^{2016})\)

  5. Известно, что \(X\) — матрица размера \(n \times k\) и \(n>k\), известно, что \(X'X\) обратима. Рассмотрим матрицу \(H=X(X'X)^{-1}X'\). Укажите размер матрицы \(H\), найдите \(H^{2016}\), \({\mathrm{tr}}(H)\), \(\det(H)\), собственные числа матрицы \(H\). Штрих означает транспонирование.

  6. Занудная халява: известно, что \({\mathbb{C}ov}(X, Y)=5\), \({\mathbb{V}ar}(X)=10\), \({\mathbb{V}ar}(Y)=20\), \({\mathbb{E}}(X)=10\), \({\mathbb{E}}(Y)=-10\). Найдите \({\mathbb{C}ov}(X+2Y, Y-X)\), \({\mathbb{V}ar}(X+2Y)\), \({\mathbb{E}}(X+2Y)\).

  7. За 100 дней Ромео посчитал все глубокие вздохи Джульетты. Настроение Джульетты столь спонтанно, что глубокие вздохи за разные дни можно считать независимыми. В сумме оказалось 890 вздохов. Сумма квадратов оказалась равна 8000. Постройте 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания ежедневного количества глубоких вздохов Джульетты. На~уровне значимости 5%-ов проверьте гипотезу, что математическое ожидание равно~9.

  8. Ромео подкидывает монетку два раза. Если монетка выпадает орлом, то Ромео кладет в мешок черный шар, если решкой — белый. Джульетта не знает, как выпадала монетка, и достает шары из мешка наугад по очереди. Первый шар оказался черного цвета. Какова вероятность того, что второй шар Джульетты будет белым?

Что-то с памятью моей стало…

Линейная алгебра:

  1. Великолепный учебник! Strang, Introduction to linear algebra. Ознакомиться можно на gen.lib.rus.ec :)