Глава 5 Грибная задача {#example_for cardinality_and_measurability}

5.0.1 Продолжение грибной задачки (№ 2.32 в задачнике) с предыдущей лекции.

Конспект: Лиза Голованова

дата: 16 сентября 2016 г

5.0.1.1 Условие задачи:

В лесу есть три вида грибов: рыжики, лисички и мухоморы. Попадаются они равновероятно и независимо друг от друга. Маша нашла 100 грибов. Пусть R — количество рыжиков, L –количество лисичек, а M — количество мухоморов среди этих трех грибов.

а) Сколько элементов $\sigma (R)$?

б) Сколько элементов $\sigma (R,M)$?

в) Измерима ли $L$ относительно $\sigma (R)$?

г) Измерима ли $L$ относительно $\sigma (R,M)$?

д) Измерима ли $L$ относительно $\sigma (R + M)$?

е) Измерима ли $L$ относительно $\sigma (R−M)$?

5.0.1.2 6.2 Решение (пункты б)-е))

б) Для того, чтобы понять, сколько элементов в $\sigma (R,M)$, сначала определим число элементарных событий в этом множестве.

Рассмотрим событие $\{R>M\}\in\mathcal{F}$. Если приравнять к нему какое-либо число, например, $\{R>M\}=8$, то можно сказать, что $R$ больше $M$ на $8$, то есть измерить $R$ относительно $M$. По такой же логике событие $\{L=5\}=\{R+M=95\}\in\mathcal{F}$. Также $\{R>100-R-L\}\in\mathcal{F}$. Все события такого вида лежат в $\mathcal{F}$. На всякий случай, события, не относящиеся к списку событий, к примеру $\{ \text{Маша пошла в кино } \} \notin\mathcal{F}$.

События $\{R>M\}\in\mathcal{F}$ можно разбить на элементарные множества, как $\{M=15\}$, $\{R=5\}$. Давайте узнаем, сколько будет таких элементарных событий.

Рассмотрим комбинации возможных элементарных событий при фиксированном R: $\{R=0,M=0\}$,$\{R=0,M=1\}$… Сумма таких событий для $R=0$ составит $101$ событие. Для $R=1$ станет на одно событие меньше, и так далее. $R=100$ достанется один элемент. По формуле арифметической прогрессии подсчитаем сумму таких событий: $\dfrac{(1+101)*101}{2}$. Тогда сумма всех элементарных событий будет равно $101*51$. Всего событий будет: \[card\sigma(R,M)=2^{101\cdot51}\].

5.0.1.3 Для ответа на пункты в)-е) интуитивно и формально определим измеримость:

$\textbf{Интуитивно}$: Если R является $\mathcal{F}$ измеримой, то зная $\mathcal{F}$ можно сказать, чему равно $R$. Или, по-другому, это список событий, который знает индивид, зная $R$.

$\textbf{Формально}$: Событие измеримо относительно $\mathcal{F}$, если оно:

Обладает свойствами, определяющими $$-алгебру:

SA1. $\Omega\in\mathcal{F}$ – даже ничего не зная, можно быть уверенным, что $\Omega$ произошло.

SA2. Если $R\notin\mathcal{F}$, то $R^c\in\mathcal{F}$ – даже ничего не зная, можно быть уверенным, что $\varnothing$ не произошло.

SA3. Если $R_1\in\mathcal{F}$, $R_2\in\mathcal{F}$, $R_3\in\mathcal{F}$ и т.д., то $\bigcup_{i=1}^{\infty} R_i\in\mathcal{F}$.

Содержит события вида $\{R \leq n\}\in \sigma (R)$, где n – любое число.

в) Если индивид обладает информацией только о числе рыжиков в корзинке, он не сможет сказать, чему равно число лисичек, ему не хватает знаний о количестве мухоморов. Значит, $L$ не измерима относительно $\sigma (R)$.

г) $L$ измерима относительно $\sigma (R,M)$, потому что мы знаем информацию и о рыжиках, и о мухоморах.

д) Поскольку мы знаем общее число грибов и сумму рыжиков с мухоморами, можно запросто посчитать, чему равно $L$. Значит, $L$ измерима относительно $\sigma (R + M)$.

е) Разница между количеством рыжиков и мухоморов не сможет сообщить, чему будет равно $L$. $L$ не измерима относительно $\sigma (R−M)$.