Глава 3 Сигма-алгебра (\(\sigma\) - алгебра)

Конспект: Антон Гисин

дата: 25 сентября 2016

3.1 Определение \(\sigma\)-алгебры

3.1.1 Обозначения:

Случайные величины принято обозначать заглавными последними буквами латинского алфавита, например \(X, Y, Z\). События обычно обозначают заглавными первыми буквами латинского алфавита, например \(A,B,C\). Для обозначения \(\sigma\)-алгебры обычно используются каллиграфические заглавные буквы латинского алфавита, например \(\mathcal{A,F,H}\).

3.1.2 Неформальное определение \(\sigma\) - алгебры:

\(\sigma\)-алгебра индивида - множество событий, про которые индивид может гарантированно сказать, произошли они или нет, вне зависимости от исхода эксперимента. Цель использования \(\sigma\)-алгебр - описать наделенность информацией индивидов.

3.1.3 Пример с игровым кубиком:

Эксперимент заключается в однократном подбрасывании игрового кубика. Пространство элементарных исходов: \[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\] Имеется три наблюдателя эксперимента: Антон - знает что кубик бросали, но не видел что на нем выпало. Обозначим \(\sigma\)-алгебру Антона \(\mathcal{F}\), Берта - внимательно наблюдала эксперимент, видела исход. Обозначим \(\sigma\)-алгебру Берты \(\mathcal{H}\). Ваня - так же видел исход эксперимента, но он из южно-американского племени Пираху, где при счете различают только 1, 2 и “много”. \(\sigma\)-алгебра Вани - \(\mathcal{V}\).

Определим, из каких элементов состоит каждая \(\sigma\)-алгебра. Антон не видел исход эксперимента, но знал, что эксперимент был, таким образом он может ответить на вопрос: “Упал ли кубик?”, или по-другому: “Выпало ли какое-нибудь число?”. То есть Антон различает только два события: “кубик упал”, которому соответствует все пространство элементарных исходов, и “кубик не упал”, которому соответствует пустое множество. Получаем, что \(\sigma\)-алгебра Антона состоит из двух элементов: \[\mathcal{F}=\{\varnothing,\Omega \}\]

Берта видела исход эксперимента и различает все исходы, а значит, различает все возможные события, которые могут произойти в ходе эксперимента, их объединения, пересечения и прочие логические операции над ними ( мы предполагаем, что наши индивиды умеют делать логические выводы, на основе имеющейся информации). \(\sigma\)-алгебра Берты - булеан \(\Omega\).

Между делом посмотрим, как вычисляется булеан конечного множества. Вычислим мощность \(\mathcal{H}\). Пусть событие \(A_{i}\) - на кубике выпало число очков, равное \(i\), \(i=1,\dots,6\). Элементы множества \(\mathcal{H}\) - это все возможные события нашего эксперимента. Каждое событие можно представить в виде объединения всех \(A_{i}\) или их дополнений \(\bar{A}_{i}\): \[ \begin{bmatrix} A_{1} \\ \bar{A}_{1} \end{bmatrix} \cup \begin{bmatrix} A_{2} \\ \bar{A}_{2} \end{bmatrix} \cup \begin{bmatrix} A_{3} \\ \bar{A}_{3} \end{bmatrix} \cup \begin{bmatrix} A_{4} \\ \bar{A}_{4} \end{bmatrix} \cup \begin{bmatrix} A_{5} \\ \bar{A}_{5} \end{bmatrix} \cup \begin{bmatrix} A_{6} \\ \bar{A}_{6} \end{bmatrix} \] То есть \(A_{i}\) означает, что мы “включаем” i-ый исход, а \(\bar{A}_{i}\) - “исключаем” i-ый исход. Поясним это на примерах. Так событие “выпало четное число очков”, можно представить следующим образом: \[ \bar{A}_{1}\cup A_{2} \cup \bar{A}_{3}\cup A_{4} \cup \bar{A}_{5}\cup A_{6} \] Событию “кубик упал” соответствует: \[ A_{1}\cup A_{2} \cup A_{3}\cup A_{4} \cup A_{5}\cup A_{6} \] а событию “кубик вообще не кидали”, то есть пустому множеству, соответствует: \[ \bar{A}_{1}\cup \bar{A}_{2} \cup \bar{A}_{3}\cup \bar{A}_{4} \cup \bar{A}_{5}\cup \bar{A}_{6} \] С помощью простых комбинаторных методов считаем все возможные комбинации таких событий, получаем: \[ card\mathcal{H}=2^6=64 \] То есть в \(\sigma\) - алгебре Берты 64 элемента. В общем случае мощность булеана конечного множества \(A\), в котором \(n\) элементов, вычисляется по формуле: \[ card\mathcal{P}(A)=2^n \] Вернемся к нашей первоначальной задаче. В ситуации с Антоном и Бертой все достаточно просто, у Вани же дела обстоят немного интереснее. Рассмотрим некоторые примеры событий и выясним, лежат ли они в \(\sigma\)-алгебре Вани или нет. “Выпало 1” = \(\{1\}\in\mathcal{V}\), так как Ваня знает что такое 1. “Выпало 5”=\(\{5\}\notin\mathcal{V}\), так как все, что больше 2 Ваня считает за “много”, следовательно 5 к примеру от 3 или 6 он не отличит. “Выпало четное число” = \(\{2,4,6\}\notin\mathcal{V}\), так как если Ваня не различает числа больше 2, он не может определить и их четность. “Не выпало 2”=\(\{1,3,4,5,6\}\in\mathcal{V}\), так как раз Ваня знает, что такое 2, то и сказать, что все остальное это не 2, он тоже сможет. Следуя этой логике, выпишем все элементы \(\sigma\)-алгебры Вани: \[ \mathcal{V}=\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,3,4,5,6\},\{3,4,5,6\},\{2,3,4,5,6\}\} \] Можем себя проверить, вычислив мощность \(\mathcal{V}\). \(\sigma\)-алгебра Вани это есть ничто иное, как булеан множества элементарных исходов, которые Ваня различает, {1,2,“много”}. По формуле мощности булеана, указанной выше, получаем: \[ card\mathcal{H}=2^3=8 \] В нашем списке тоже 8 элементов, значит мы выписали все правильно.

3.1.4 Формальное определение \(\sigma\) - алгебры:

Множество \(\mathcal{F}\) называется \({\bf\sigma - алгеброй}\) для множества элементарных исходов \(\Omega\), если:

  1. \(\varnothing,\Omega \in \mathcal{F}\)
  2. Если \(A \in \mathcal{F}\), то и \(\bar{A} \in \mathcal{F}\)
  3. Если \(A_{1}, A_{2},\dots \in \mathcal{F}\), то любое событие, которое можно получить из \(A_{i}\) с помощью любой логической операции в счетном количестве, обязательно лежит в \(\mathcal{F}\).

На самом деле, некоторые пункты в данном определении можно опустить, так как другие пункты так же их учитывают. Минимальные требования, при которых определение остается корректным:

  1. \(\varnothing \in \mathcal{F}\)
  2. Если \(A \in \mathcal{F}\), то и \(\bar{A} \in \mathcal{F}\)
  3. Если \(A_{1}, A_{2},\dots \in \mathcal{F}\), то и \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{F}\)

3.2 Упражнение про Петров и Николаев:

В ходе эксперимента монетку подбрасывают бесконечное число раз. Пусть событие \(A_{i}\) - в i-ом подбрасывании выпал орел, \(i=1,2,\dots\) .Имеются два типа наблюдателей, Петры и Николаи. \(Петр_{1}\) видел все подбрасывания, начиная с первого, \(Петр_{2}\) видел все подбрасывания, начиная со второго и тд. То есть \(Петр_{i}\) видел все подбрасывания, начиная с i-ого. \(Николай_{1}\) видел первое подбрасывание, а потом ушел, \(Николай_{2}\) видел первое и второе подбрасывание, а потом ушел и тд. То есть \(Николай_{i}\) видел все подбрасывания до i-ого включительно, а остальные не видел. Обозначим \(\sigma\) - алгебру i-ого Петра \(\mathcal{F}_{i}\), а \(\sigma\)-алгебру i-ого Николая \(\mathcal{H}_{i}\).

Задания:

  1. Выпишите явно \(\mathcal{H}_{1}\) и \(\mathcal{H}_{2}\).
  2. Сколько событий в \(\mathcal{H}_{2016}\) ?
  3. Сравните \(\mathcal{H}_{100}\) и \(\mathcal{H}_{200}\) .
  4. Сравните \(\mathcal{F}_{100}\) и \(\mathcal{F}_{200}\) .
  5. В какие \(\sigma\)-алгебры входят следующие события:
  • \(A_{1}\)
  • \(A_{40}\)
  • \(A_{1} \cup A_{40}\)

  • \(A_{1} \cap A_{40}\)

  • \(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}\)

  • \(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\)

  • \(A_{56}\cap \bar{A}_{47}\)

  • \(\bigcup_{j=40}^{\infty}A_{j}\)

  • \(\bigcap_{i=1}^{\infty}(\bigcup_{j=i}^{\infty}A_{j})\)

  • \(\bigcup_{i=1}^{\infty}(\bigcap_{j=i}^{\infty}A_{j})\)

Решение:

  1. \(\mathcal{H}_{1}=\{A_{1},\bar{A}_{1},\Omega,\varnothing\}\);

В \(\sigma\)-алгебру \(Николая_{2}\) входят \(A_{1},{A}_{2}\) и все возможные логические операции над этими событиями. Изобразим это с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

выполнено с использованием пакета tikz в LaTeX

выполнено с использованием пакета tikz в LaTeX

Диаграмма условно разбита на 4 сектора, которые обозначены \(R_{1},R_{2},R_{3}\) и \(R_{4}\). Элементы \(\sigma\)-алгебры \(Николая_{2}\) - это все возможные комбинации “включения” и “исключения” областей \(R_{i}\). Получаем:

\[\mathcal{H}_{2}=\{ A_{1},\bar{A}_{1}, A_{2},\bar{A}_{2}, A_{1}\cup{A}_{2}, A_{1}\cap{A}_{2}, \bar{A}_{1}\cup{A}_{2}, A_{1}\cup \bar{A}_{2}, \bar{A}_{1}\cap{A}_{2}, A_{1}\cap \bar{A}_{2}, \bar{A}_{1}\cup \bar{A}_{2}, \bar{A}_{1}\cap \bar{A}_{2}, A_{1}\Delta{A}_{2}, \overline{A_{1}\Delta{A}_{2}}, \Omega,\varnothing\ \}\]

  1. \(card\mathcal{H}_{2016}=2^{2016}\)

  2. \(card\mathcal{H}_{100}<card\mathcal{H}_{200}\)

  3. \(\mathcal{F}_{100}>\mathcal{F}_{200}\)
  • \(A_{1}\in \mathcal{H}_{i}, i=1,2,\dots\),

\(A_{1}\in \mathcal{F}_{1}\)

  • \(A_{40} \in \mathcal{H}_{i}, i=40,41,\dots\),

\(A_{40} \in \mathcal{F}_{j}, j=1,2,\dots,40\)

  • \(A_{1} \cup A_{40}\in \mathcal{F}_{1}\),

\(A_{1} \cup A_{40}\in \mathcal{H}_{i}, i=40,41,\dots\)

  • \(A_{1} \cap A_{40}\in \mathcal{F}_{1}\),

\(A_{1} \cap A_{40}\in \mathcal{H}_{i}, i=40,41,\dots\)

  • “в каждом подбрасывании выпал орел” \(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}\in \mathcal{F}_{1}\)

  • “за все подбрасывания хотя бы раз выпал орел” \(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\in \mathcal{F}_{1}\)

  • \(A_{56}\cap \bar{A}_{47}\in \mathcal{H}_{i}, i=56,57,\dots\),

\(A_{56}\cap \bar{A}_{47}\in \mathcal{F}_{i}, j=1,2,\dots,47\)

  • “после 39 подбрасывания хотя бы раз выпал орел” \(\bigcup_{i=40}^{\infty}A_{i}\in \mathcal{F}_{j}, j=1,2,\dots,40\)