Глава 7 Условное математическое ожидание

Конспект: Гончар Павел

Дата: 30 сентября 2016

7.0.0.1 Основные задачи лекции:

Сформулировать интуитивное определение условного математического ожидания, используя терминологию $\sigma$ - алгебры.
На примере посчитать условное математическое ожидание.
Сформулировать формальное определение.

7.1 Формальное определение условного математического ожидания.

Будем использовать стандартное обозначение условного математического ожидания: $E(X| \mathcal{F})$ , где:

$X$ - случайная величина, $\mathcal{F}$ - $\sigma$ - алгебра. Для полноты понимания этого математического обьекта сформулируем интуитивные опредления:

$E(X| \mathcal{F})$ - наилучший прогноз $Х$ , если различаем события из $\mathcal{F}$ .
Огрубление случайной величины $Х$ до $\mathcal{F}$ измеримости.
Из величин известных индивиду, различающему события из $\mathcal{F}$ выбирается ближайшая к $Х$ .

Стоить отметить, что $E(X| \mathcal{F})$ - случайная величина.

7.2 Пример:

Пусть дана случайная величина $X$ , принимающая значения 1, 10, 20 с вероятностями 0.5, 0.2, 0,3 соответственно. Пространтсво элементарных исходов $\Omega = \{a, b, c \}$ . Заданы две $\sigma$ - алгебры :

$\mathcal{F} = \{\varnothing, \Omega, \{a\}, \{a, b\}\}$
$\mathcal{A} = \{\varnothing, \Omega\}$
$\mathcal{H}$ - все подмножества $\Omega$

Для простоты восприятия составим матрицу:

$P$	0.5	0.2	0.3
$\Omega$	$a$	$b$	$c$
$X$	1	10	20

Найти: $E(X| \mathcal{F})$ , $E(X| \mathcal{H})$ , $E(X| \mathcal{A})$ .

Найдем сначала $E(X| \mathcal{H})$ . Сформулируем наилучший прогноз $X$ , при информации $\mathcal{H}$ (используем первое интуитивное определение). Так как мы знаем всю информацию о событиях, то сможем идеально предсказать значения случайной величины, то есть:

$E(X| \mathcal{H}) = X$ .

Найдем $E(X| \mathcal{A})$ . Так как $\sigma$ - алгебра $\mathcal{A}$ не содержит информации для индификации событий, то рассчитываем ожидаемое значение случайной величины, используя обычную формулу математического ожидания:

$E(X| \mathcal{A})=E(X) = 1 * 0.5 + 10 * 0.2 + 20 * 0.3 = 8.5$

Для нахождения $E(X| \mathcal{F})$ необходимо изучить как устроена $\mathcal{F}$ . Из условия видно, что индивид, обладающий информацией $\mathcal{F}$ , не может различить событие $c$ и $b$ , поэтому лучшим ответом на событие $c$ или $b$ будет одно число. Обозначим его - $m$ . Заметим, что событие $a$ индивид может индифицировать, поэтому лучшим ответом на событие $a$ будет - 1. Для общего вида обозначим это число, как - $k$ . Так как $E(X| \mathcal{F})$ - случайная величина, то добавим ее в матрицу для наглядности решения:

$P$	0.5	0.2	0.3
$\Omega$	$a$	$b$	$c$
$X$	1	10	20
$E(X\mid\mathcal{F})$	$k$	$m$	$m$

Задача сводится к отысканию $k$ и $m$ . Формально задача имеет вид: $\underset{\hat{x}}{ \min} \ E[(X-\hat{x})^2]$ , где:

$X$ - фактические значения

$\hat{x}$ - прогнозное значение.

Для нашей задачи целевая функция $Q(k,m)$ имеет вид:

$Q(k,m) = 0.5 \cdot (1 - k)^2 + 0.2 \cdot (10 - m)^2 + 0.3 \cdot (20 - m)^2$ , а задача:

$ Q(k,m) $

Решение задачи минимизации:

$k$ = 1

$m$ = 16

Следовательно получаем следующие наилучшие прогнозы:

$P$	0.5	0.2	0.3
$\Omega$	$a$	$b$	$c$
$X$	1	10	20
$E(X	)$	1	16

Полная матрица ответов:

$P$	0.5	0.2	0.3
$\Omega$	$a$	$b$	$c$
$X$	1	10	20
$E(X	)$	1	10
$E(X	)$	8.5	8.5
$E(X	)$	1	16

7.3 Формальное определение математического ожидания.

Если $E(X| \mathcal{F}) < \infty$ , то можно определить $E(X| \mathcal{F})$ :

$E(X| \mathcal{F})$ - случайная величина, $\hat{x}$ обладающая следующими свойствами:

$\hat{x}$ - измерима относительно $\sigma$ - алгебры $\mathcal{F}$ .
$E(\hat{x}) = E(x)$ .
Если взять произвольную $\mathcal{F}$ -измеримую случайную величину $z$ , то $Сov(z,x) = Сov(z, \hat{x})$ .