Глава 7 Условное математическое ожидание
Конспект: Гончар Павел
Дата: 30 сентября 2016
7.0.0.1 Основные задачи лекции:
- Сформулировать интуитивное определение условного математического ожидания, используя терминологию \(\sigma\) - алгебры.
- На примере посчитать условное математическое ожидание.
- Сформулировать формальное определение.
7.1 Формальное определение условного математического ожидания.
Будем использовать стандартное обозначение условного математического ожидания: \(E(X| \mathcal{F})\), где:
\(X\) - случайная величина, \(\mathcal{F}\) - \(\sigma\) - алгебра. Для полноты понимания этого математического обьекта сформулируем интуитивные опредления:
- \(E(X| \mathcal{F})\) - наилучший прогноз \(Х\), если различаем события из \(\mathcal{F}\).
- Огрубление случайной величины \(Х\) до \(\mathcal{F}\) измеримости.
- Из величин известных индивиду, различающему события из \(\mathcal{F}\) выбирается ближайшая к \(Х\).
Стоить отметить, что \(E(X| \mathcal{F})\) - случайная величина.
7.2 Пример:
Пусть дана случайная величина \(X\), принимающая значения 1, 10, 20 с вероятностями 0.5, 0.2, 0,3 соответственно. Пространтсво элементарных исходов \(\Omega = \{a, b, c \}\). Заданы две \(\sigma\) - алгебры :
\(\mathcal{F} = \{\varnothing, \Omega, \{a\}, \{a, b\}\}\)
\(\mathcal{A} = \{\varnothing, \Omega\}\)
\(\mathcal{H}\) - все подмножества \(\Omega\)
Для простоты восприятия составим матрицу:
\(P\) | 0.5 | 0.2 | 0.3 |
---|---|---|---|
\(\Omega\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
\(X\) | 1 | 10 | 20 |
Найти: \(E(X| \mathcal{F})\), \(E(X| \mathcal{H})\), \(E(X| \mathcal{A})\).
Найдем сначала \(E(X| \mathcal{H})\). Сформулируем наилучший прогноз \(X\), при информации \(\mathcal{H}\) (используем первое интуитивное определение). Так как мы знаем всю информацию о событиях, то сможем идеально предсказать значения случайной величины, то есть:
\(E(X| \mathcal{H}) = X\).
Найдем \(E(X| \mathcal{A})\). Так как \(\sigma\) - алгебра \(\mathcal{A}\) не содержит информации для индификации событий, то рассчитываем ожидаемое значение случайной величины, используя обычную формулу математического ожидания:
\(E(X| \mathcal{A})=E(X) = 1 * 0.5 + 10 * 0.2 + 20 * 0.3 = 8.5\)
Для нахождения \(E(X| \mathcal{F})\) необходимо изучить как устроена \(\mathcal{F}\). Из условия видно, что индивид, обладающий информацией \(\mathcal{F}\), не может различить событие \(c\) и \(b\), поэтому лучшим ответом на событие \(c\) или \(b\) будет одно число. Обозначим его - \(m\). Заметим, что событие \(a\) индивид может индифицировать, поэтому лучшим ответом на событие \(a\) будет - 1. Для общего вида обозначим это число, как - \(k\). Так как \(E(X| \mathcal{F})\) - случайная величина, то добавим ее в матрицу для наглядности решения:
\(P\) | 0.5 | 0.2 | 0.3 |
---|---|---|---|
\(\Omega\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
\(X\) | 1 | 10 | 20 |
\(E(X\mid\mathcal{F})\) | \(k\) | \(m\) | \(m\) |
Задача сводится к отысканию \(k\) и \(m\). Формально задача имеет вид: \(\underset{\hat{x}}{ \min} \ E[(X-\hat{x})^2]\), где:
\(X\) - фактические значения
\(\hat{x}\) - прогнозное значение.
Для нашей задачи целевая функция \(Q(k,m)\) имеет вид:
\(Q(k,m) = 0.5 \cdot (1 - k)^2 + 0.2 \cdot (10 - m)^2 + 0.3 \cdot (20 - m)^2\) , а задача:
$ Q(k,m) $
Решение задачи минимизации:
\(k\) = 1
\(m\) = 16
Следовательно получаем следующие наилучшие прогнозы:
\(P\) | 0.5 | 0.2 | 0.3 |
---|---|---|---|
\(\Omega\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
\(X\) | 1 | 10 | 20 |
$E(X | )$ | 1 | 16 |
Полная матрица ответов:
\(P\) | 0.5 | 0.2 | 0.3 |
---|---|---|---|
\(\Omega\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
\(X\) | 1 | 10 | 20 |
$E(X | )$ | 1 | 10 |
$E(X | )$ | 8.5 | 8.5 |
$E(X | )$ | 1 | 16 |
7.3 Формальное определение математического ожидания.
Если \(E(X| \mathcal{F}) < \infty\), то можно определить \(E(X| \mathcal{F})\):
\(E(X| \mathcal{F})\) - случайная величина, \(\hat{x}\) обладающая следующими свойствами:
\(\hat{x}\) - измерима относительно \(\sigma\) - алгебры \(\mathcal{F}\).
\(E(\hat{x}) = E(x)\).
Если взять произвольную \(\mathcal{F}\)-измеримую случайную величину \(z\), то \(Сov(z,x) = Сov(z, \hat{x})\).