Глава 4 Сигма-алгебра (\(\sigma(x)\) - алгебра)
Дата: 25 сентября 2016
Конспект: Вероника Закирова
4.1 Повторение.
Прежде чем перейти к рассмотрению задач, давайте вспомним сами определения сигма-алгебры.
4.1.0.1 Определение (интуитивное):
Пусть \(Х\) - температура завтра. Я знаю \(Х\), а значит, что я могу различать (гарантированно сказать, произошло ли событие вне зависимоти от исхода эксперимента) события сигма-алгебры \(\mathcal{F}\):
\(\{ X>10 \in \mathcal{F}\}\)
\(\{X=10 \in \mathcal{F}\}\)
4.1.0.2 Определение (формальное):
\(\sigma(x)\) - минимальная \(\sigma\) алгебра, порожденная величиной \(X\), то есть - это список событий, которые различает индивид, знающий \(X\).
\(\sigma(x)\) - самая маленькая \(\sigma\) алгебра, содержащая все события вида: \(\{X \leqslant A\}\), например, \(\{X \leqslant 7\}\) и так далее.
В сигма-алгебру входит еще объединение, пересечение, дополнение событий:
\(\{X \leqslant 7\} \in \mathcal{F} \Rightarrow \{X \geqslant 7\} \in \mathcal{F}\)
4.2 Упражненение.
Пусть монетку подбросили один раз. \(Z\) - некий показатель, который в зависомости от произошедшего события принимает определеное значение.
| \(\Omega\) | орёл | решка | ребро |
|---|---|---|---|
| p | 0.49 | 0.49 | 0.02 |
| Z | 5 | 7 | 5 |
Определить:
а) минимальную \(\sigma\)-алгебру на пространстве элементарных исходов \(\Omega\)
б) \(\mathcal{F}\) - самую большую \(\sigma\)-алгебру на пространстве элементарных исходов \(\Omega\)
а) рассмотрим различные значения, которые может принимать \(Z\):
- \(Z \leqslant 0 - \varnothing\)
- \(Z \leqslant 5 - \{орел, ребро\}\)
- \(Z = 7 - \{решка\}\)
- \(Z \leqslant 20 - \Omega\)
Получаем: \(\sigma(Z) =\{ \varnothing,\{орел,ребро\}, \{решка\}, \Omega \}.\)
б) Для того, чтобы получить \(\mathcal{F}\) необходимо применить элементарные операции над множествами к элементам \(\sigma(x)\): \(\mathcal{F} =\{ \varnothing,\{орел\}, \{ребро\},\{решка\}, не\ решка, не\ орел, не\ ребро, \Omega \}.\)
4.3 Упражнение с пары №2 (семинар 1). [Доразбор]
В ходе эксперимента монетку подбрасывают бесконечное число раз. есть два наблюдателя: Петры и Николаи.
Пётр\(_i\) видит все события, начиная с \(i\) - его сигма-алгебра \(\mathcal{F}_i\).
Николай\(_i\) видит все события, которые произошли до \(i\) – его сигма-алгебра \(\mathcal{H}_i\).
Напомним: \(A_i =\{на\ i-й\ раз\ выпал\ орел\}\)
В какие \(\sigma\)-алгебры входят следующие события:
- \(\underset{i=1}{\overset{\infty}\cap}(\underset{j=1}{\overset{\infty}\cup}A_j)\) ;
- \(\underset{i=1}{\overset{\infty}\cup}(\underset{j=1}{\overset{\infty}\cap}A_j)\) ?
Решение:
- \(\underset{i=1}{\overset{\infty}\cap}(\underset{j=1}{\overset{\infty}\cup}A_j)\)
Распишем это событие подробнее и назовем его \(B\):
\((\underset{j=1}{\overset{\infty}\cup}A_j)\cap (\underset{j=2}{\overset{\infty}\cup}A_j) \cap (\underset{j=3}{\overset{\infty}\cup}A_j)\dots = B\)
\(\underbrace{(\underset{j=1}{\overset{\infty}\cup}A_j)}_{хоть\ 1\ орел\ с\ 1го\ броска}\underbrace{\cap}_{и}\underbrace{ (\underset{j=2}{\overset{\infty}\cup}A_j)}_{хоть\ 1\ орел\ со\ 2го\ броска} \underbrace{\cap}_{и}\underbrace{ (\underset{j=3}{\overset{\infty}\cup}A_j)}_{хоть\ 1\ орел\ с\ 3го\ броска}\underbrace{\dots}_{и\ тд.}\)
Событие \(B\) можно записать словами так: орел выпал \(\infty\) число раз.
Примеры:
- \(PPPPPPP \dots\) - \(B\) не случилось
- \(POOOOPPPPP \dots\) - \(B\) не случилось
- \(POPOPOPOPO \dots\) - \(B\) случилось
- \(POPOOPOOOPOOOOPOOOOO \dots\) - \(B\) случилось
Событие \(B\) входит в сигма-алгебры:
\(B \in \mathcal{F}_1, B \in \mathcal{F}_2, \dots\) , то есть все Петры смогут сказать произошло ли оно.
Так как каждый их Николаев видит лишь конечное число событий, то \(B \not\in \mathcal{H}_i\)
- \(\underset{i=1}{\overset{\infty}\cup}(\underset{j=1}{\overset{\infty}\cap}A_j)\)
По аналогии с \(B\) распишем это событие подробнее и назовем его \(С\):
\((\underset{j=1}{\overset{\infty}\cap}A_j)\cup (\underset{j=2}{\overset{\infty}\cap}A_j) \cup (\underset{j=3}{\overset{\infty}\cap}A_j)\dots = С\)
\(\underbrace{(\underset{j=1}{\overset{\infty}\cap}A_j)}_{все\ орлы\ с\ 1го\ броска}\underbrace{\cup}_{или}\underbrace{ (\underset{j=2}{\overset{\infty}\cap}A_j)}_{все\ орлы\ со\ 2го\ броска}\underbrace{\cap}_{или}\underbrace{ (\underset{j=3}{\overset{\infty}\cap}A_j)}_{все\ орлы\ с\ 3го\ броска}\underbrace{\dots}_{и\ тд.}\)
Резюмируя, событие \(C\) можно записать словами так: решек выпало конечное число.
Примеры:
- \(PPPPPPP \dots\) - \(С\) не случилось
- \(POOOOPPPPP \dots\) - \(С\) не случилось
- \(PPPOOOOOOOO \dots\) - \(С\) случилось
- \(OPPOOPOOOOO \dots\) - \(С\) случилось
Событие \(C\) входит в сигма-алгебры:
\(C \in \mathcal{F}_1, C \in \mathcal{F}_2, \dots\) , то есть все Петры смогут сказать произошло ли оно.
Так как каждый их Николаев видит лишь конечное число событий, то \(C \not\in \mathcal{H}_i\)
4.3.0.1 Приложение.
При наборе данного семинара, приходилось практически постоянно переключать раскладки с EN на RUS и наоборот, да и почти каждому знакома проблема “напечатал много предложений, поднял голову, а там на английской раскладке все”.
Если Вы все еще перепечатываете текст, тогда punto switcher специально для Вас.