Глава 11 Мартингалы

Конспект: Маслова Инна

дата: 14 ноября 2016

11.1 Определение мартингала

11.1.1 Необходимые сведения перед основным определением

Определение 1: Случайный процесс в дискретном времени - это последовательность случайных величин \(x_1,x_2,x_3,\ldots\) Формальная запись: (\(x_n\)).
Определение 2: Фильтрация (поток \(\sigma\)-алгебр) - последовательность \(\sigma\)-алгебр \(\mathcal{F_1}\),\(\mathcal{F_2}\),\(\mathcal{F_3}\),\(\ldots\) такая, что для любого \(n\) \(\mathcal{F}_n\subseteq \mathcal{F_{n+1}}\) (последующая \(\sigma\)-алгебра содержит предыдущую).
Определение 3: фильтрация \(\mathcal{F}_n\) называется естественной фильтрацией для процесса (\(x_n\)), если все, что я знаю - значение \(x\), то есть для любого \(n\): \(\mathcal{F}_n=\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) ( то есть в 1 день я знаю, что было в \(x_1\),во 2 день- что было в \(x_1\) и \(x_2\) и так далее).

11.1.2 Определение мартингала

Процесс (\(x_n\)) называется мартингалом по отношению к фильтрации \(\mathcal{F}_n\), если выполнены 2 условия:

для любого \(n\) \(x_n\) измерима относительно \(\mathcal{F}_n\) (мне хватает \(\mathcal{F}_n\) чтобы сказать, чему равно \(x_n\)) \(\newcommand{\Expect}{\mathsf{E}}\)
\(\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=x_n\)

Мартингал - процесс, который в среднем не меняется.

11.2 Задачи

11.2.1 Постановка задачи

Является ли процесс (\(x_n\)) мартингалом по отношению к фильтрации \(\mathcal{F}_n\)?

\(z_1,z_2,\ldots,z_n\) - независимы и \(z_i\sim N(0,49)\), \(x_n=\sum_{i=1}^n z_i\). Фильтрация: \(\mathcal{F}_n=\sigma(z_1,z_2,\ldots,z_n)\)
\(z_1,z_2,\ldots,z_n\) - независимы и \(z_i\sim U[0,1]\), \(x_n=\sum_{i=1}^n z_i\). Фильтрация: \(\mathcal{F}_n=\sigma(z_1,z_2,\ldots,z_n)\)
Есть колода карт. Всего 52 карты, 4 масти.Я открываю одну карту за другой и смотрю, какую карту я открыла. Пусть \(x_n\) - доля тузов в оставшейся колоде после открытия \(n\) карт.\(\mathcal{F}_n\) - знаю те карты, которые открыты. Рассмотрим, какие значения могут принимать \(x_0\) и \(x_{51}\).

\(x_0=\dfrac4{52}\)

После открытия 51 карты, получим, что значения, которые принимает \(x_{51}\) будет либо 1 (последняя карта - туз), либо 0 (последняя карта - не туз). Тогда вероятность того, что последняя карта окажется тузом, равна \(\dfrac4{52}\), так как всего 4 туза, а количество карт равно 52.

исход	не туз	туз
\(x_{51}\)	\(0\)	\(1\)
\(p\)	\(\dfrac{48}{52}\)	\(\dfrac4{52}\)

Сколько элементов в \(\mathcal{F_1}\) и \(\mathcal{F_2}\)? Понять, что больше, число элементарных частиц во Вселенной или число элементов в \(\mathcal{F_2}\)?

11.2.2 Решение

Для всех случаев нужно проверить выполнение 2 условий из определения мартингала.

a) Рассмотрим 1 случай

1 условие: Я знаю \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) и так как \(x_n=\sum_{i=1}^n z_i\), то я знаю \(x_n\).

2 условие: \(\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)\)=(знаю \(z_1,z_2,\ldots,z_n\), поэтому могу их вынести)=\(z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)\)=

=\(z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1})=z_1+z_2+\ldots+z_n=x_n\)

Пояснения к вычислениям ко 2 условию: (\(\Expect (z_{n+1})=0\) так как \(z_i=N(0,1)\)

\(\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=\Expect (z_{n+1})\), так как случайные величины \(z_1,z_2,\ldots,z_{n+1}\) независимы)

Оба условия выполняются, значит, процесс (\(x_n\)) мартингал по отношению к фильтрации \(\mathcal{F}_n\).

b) Рассмотрим 2 случай

1 условие: Я знаю \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) и так как \(x_n=\sum_{i=1}^n z_i\), то я знаю \(x_n\).

=\(z_1+z_2+\ldots+z_n+\dfrac{0+1}{2}=x_n+\dfrac12 \ne x_n\)

2 условие не выполняется, значит, в этом случае процесс (\(x_n\)) не является мартингалом.

c) Рассмотрим 3 случай

1 условие: выполнено, так как если я вижу открытые карты, то могу посчитать долю тузов среди неоткрытых, то есть могу посчитать \(x_n\)

2 условие: Спрогнозируем долю тузов, когда открою следующую карту : \(\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)\)

Сейчас: открыто \(n\), закрыто 52-\(n\)

Доля тузов среди закрытых карт: \(x_n\)

Количество закрытых тузов: \(x_n(52-n)\)

Тогда вероятность того, что при открытии \(n+1\) карты будет туз равна доле тузов среди закрытых карт или \(x_n\). Если карта - туз, то после её открытия доля тузов будет равна \(x_{n+1}=\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}\). Если же при открытии карта окажется не тузом, то \(x_{n+1}=\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}\). Ниже представлена таблица с долями тузов и вероятностями исходов.

Исход	туз	не туз
\(x_{n+1}\)	\(\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}\)	\(\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}\)
\(p\)	\(x_n\)	\(1-x_n\)

\(\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=x_n\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}+(1-x_n)\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}\)=

=\(\dfrac{52x_n^2-nx_n^2-x_n+52x_n-52x_n^2-nx_n+nx_n^2}{51-n}=\dfrac{51x_n-nx_n}{51-n}=x_n\)

2 условие выполняется.

Оба условия выполняются, значит, процесс (\(x_n\)) мартингал по отношению к фильтрации \(\mathcal{F}_n\).

d) Последнее задание

\(\mathcal{F_1}\) содержит 52 элементарных события (например, карта №1 - крести, карта №2 - туз пик и т.д.). Каждое событие либо включаем либо не включаем, поэтому получим \(card\mathcal{F_1}=2^{52}\)

\(card\mathcal{F_2}=2^{C_{52}^1C_{51}^1}=2^{52*51}\approx(4*10^{15})^{51}=4^{51}*10^{15*51}\)

Число элементарных частиц во Вселенной \(10^{81}\)

\(4^{51}*10^{15*51}\gg 10^{81}\)

11.3 Зачем изучать мартингалы?

В реальности случайные процессы - не мартингалы. Можно сделать из процесса мартингал, изучить его (все просто считается), сделать какие-то выводы, а затем, используя эти выводы, изучить исходный процесс.

Упражнение

\(z_1,z_2,\ldots,z_n\) - независимы и \(z_i\sim U[0,1]\), \(x_n=\sum_{i=1}^n z_i\). Фильтрация: \(\mathcal{F}_n=\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n)\). Возьмем процесс \(M_n=a^{x_n}\). Нужно подобрать число \(a\) так, чтобы \((M_n)\) был мартингалом относительно фильтрации \(\mathcal{F}_n\).

Решение

Простой случай: \(a=1\). Действительно, \((M_n)=(1,1,1,1,\ldots)\). Тогда \(\Expect (M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=1=M_n\), а значит, \((M_n)\) - мартингал.

Теперь попробуем найти \(a \ne 1\). Для этого проверим выполнимость двух условий из определения мартингала.

1 условие: \(M_n\) измерим относительно \(\mathcal{F}_n\) при известном \(a\)

2 условие: \(\Expect (M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (a^{x_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=\Expect (a^{z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)\)=(знаю \(z_1,z_2,\ldots,z_n\), поэтому могу их вынести)=\(a^{z_1+z_2+\ldots+z_n}\Expect (a^{z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=a^{x_n}\Expect (a^{z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)\)=(так как случайная величина \(z_{n+1}\) не зависит от \(z_1,z_2,\ldots,z_n\)) =\(M_n\Expect (a^{z_{n+1}})\)=(должно быть равно по определению мартингала)=\(M_n\).Тогда

\(\Expect (a^{z_{n+1}})=1\)

\(\Expect (a^{z_{n+1}})=\int\limits_0^1 a^t\,dt=1\)

\(\int\limits_0^1 e^{t*\ln a}\,dt=\left. \dfrac{e^{t*\ln a}}{\ln a}\right|_0^1=\dfrac{e^{\ln a}}{\ln a}-\dfrac1{\ln a}=\dfrac{e^{\ln a}-1}{\ln a}=\dfrac{a-1}{\ln a}=1\) =>

=> \(a-1=\ln a\)

Это уравнение имеет единственное решение \(a=1\)

Получаем:Процесс \(M_n=a^{x_n}\) является мартингалом относительно фильтрации \(\mathcal{F}_n\) только при \(a=1\)