Глава 11 Мартингалы

Конспект: Маслова Инна

дата: 14 ноября 2016

11.1 Определение мартингала

11.1.1 Необходимые сведения перед основным определением

Определение 1: Случайный процесс в дискретном времени - это последовательность случайных величин $x_1,x_2,x_3,\ldots$ Формальная запись: ( $x_n$ ).
Определение 2: Фильтрация (поток $\sigma$ -алгебр) - последовательность $\sigma$ -алгебр $\mathcal{F_1}$ , $\mathcal{F_2}$ , $\mathcal{F_3}$ , $\ldots$ такая, что для любого $n$ $\mathcal{F}_n\subseteq \mathcal{F_{n+1}}$ (последующая $\sigma$ -алгебра содержит предыдущую).
Определение 3: фильтрация $\mathcal{F}_n$ называется естественной фильтрацией для процесса ( $x_n$ ), если все, что я знаю - значение $x$ , то есть для любого $n$ : $\mathcal{F}_n=\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ( то есть в 1 день я знаю, что было в $x_1$ ,во 2 день- что было в $x_1$ и $x_2$ и так далее).

11.1.2 Определение мартингала

Процесс ( $x_n$ ) называется мартингалом по отношению к фильтрации $\mathcal{F}_n$ , если выполнены 2 условия:

для любого $n$ $x_n$ измерима относительно $\mathcal{F}_n$ (мне хватает $\mathcal{F}_n$ чтобы сказать, чему равно $x_n$ ) $\newcommand{\Expect}{\mathsf{E}}$
$\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=x_n$

Мартингал - процесс, который в среднем не меняется.

11.2 Задачи

11.2.1 Постановка задачи

Является ли процесс ( $x_n$ ) мартингалом по отношению к фильтрации $\mathcal{F}_n$ ?

$z_1,z_2,\ldots,z_n$ - независимы и $z_i\sim N(0,49)$ , $x_n=\sum_{i=1}^n z_i$ . Фильтрация: $\mathcal{F}_n=\sigma(z_1,z_2,\ldots,z_n)$
$z_1,z_2,\ldots,z_n$ - независимы и $z_i\sim U[0,1]$ , $x_n=\sum_{i=1}^n z_i$ . Фильтрация: $\mathcal{F}_n=\sigma(z_1,z_2,\ldots,z_n)$
Есть колода карт. Всего 52 карты, 4 масти.Я открываю одну карту за другой и смотрю, какую карту я открыла. Пусть $x_n$ - доля тузов в оставшейся колоде после открытия $n$ карт. $\mathcal{F}_n$ - знаю те карты, которые открыты. Рассмотрим, какие значения могут принимать $x_0$ и $x_{51}$ .

$x_0=\dfrac4{52}$

После открытия 51 карты, получим, что значения, которые принимает $x_{51}$ будет либо 1 (последняя карта - туз), либо 0 (последняя карта - не туз). Тогда вероятность того, что последняя карта окажется тузом, равна $\dfrac4{52}$ , так как всего 4 туза, а количество карт равно 52.

исход	не туз	туз
$x_{51}$	$0$	$1$
$p$	$\dfrac{48}{52}$	$\dfrac4{52}$

Сколько элементов в $\mathcal{F_1}$ и $\mathcal{F_2}$ ? Понять, что больше, число элементарных частиц во Вселенной или число элементов в $\mathcal{F_2}$ ?

11.2.2 Решение

Для всех случаев нужно проверить выполнение 2 условий из определения мартингала.

a) Рассмотрим 1 случай

1 условие: Я знаю $z_1,z_2,\ldots,z_n$ и так как $x_n=\sum_{i=1}^n z_i$ , то я знаю $x_n$ .

2 условие: $\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)$ =(знаю $z_1,z_2,\ldots,z_n$ , поэтому могу их вынести)= $z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)$ =

= $z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1})=z_1+z_2+\ldots+z_n=x_n$

Пояснения к вычислениям ко 2 условию: ( $\Expect (z_{n+1})=0$ так как $z_i=N(0,1)$

$\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=\Expect (z_{n+1})$ , так как случайные величины $z_1,z_2,\ldots,z_{n+1}$ независимы)

Оба условия выполняются, значит, процесс ( $x_n$ ) мартингал по отношению к фильтрации $\mathcal{F}_n$ .

b) Рассмотрим 2 случай

1 условие: Я знаю $z_1,z_2,\ldots,z_n$ и так как $x_n=\sum_{i=1}^n z_i$ , то я знаю $x_n$ .

= $z_1+z_2+\ldots+z_n+\dfrac{0+1}{2}=x_n+\dfrac12 \ne x_n$

2 условие не выполняется, значит, в этом случае процесс ( $x_n$ ) не является мартингалом.

c) Рассмотрим 3 случай

1 условие: выполнено, так как если я вижу открытые карты, то могу посчитать долю тузов среди неоткрытых, то есть могу посчитать $x_n$

2 условие: Спрогнозируем долю тузов, когда открою следующую карту : $\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)$

Сейчас: открыто $n$ , закрыто 52- $n$

Доля тузов среди закрытых карт: $x_n$

Количество закрытых тузов: $x_n(52-n)$

Тогда вероятность того, что при открытии $n+1$ карты будет туз равна доле тузов среди закрытых карт или $x_n$ . Если карта - туз, то после её открытия доля тузов будет равна $x_{n+1}=\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}$ . Если же при открытии карта окажется не тузом, то $x_{n+1}=\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}$ . Ниже представлена таблица с долями тузов и вероятностями исходов.

Исход	туз	не туз
$x_{n+1}$	$\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}$	$\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}$
$p$	$x_n$	$1-x_n$

$\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=x_n\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}+(1-x_n)\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}$ =

= $\dfrac{52x_n^2-nx_n^2-x_n+52x_n-52x_n^2-nx_n+nx_n^2}{51-n}=\dfrac{51x_n-nx_n}{51-n}=x_n$

2 условие выполняется.

Оба условия выполняются, значит, процесс ( $x_n$ ) мартингал по отношению к фильтрации $\mathcal{F}_n$ .

d) Последнее задание

$\mathcal{F_1}$ содержит 52 элементарных события (например, карта №1 - крести, карта №2 - туз пик и т.д.). Каждое событие либо включаем либо не включаем, поэтому получим $card\mathcal{F_1}=2^{52}$

$card\mathcal{F_2}=2^{C_{52}^1C_{51}^1}=2^{52*51}\approx(4*10^{15})^{51}=4^{51}*10^{15*51}$

Число элементарных частиц во Вселенной $10^{81}$

$4^{51}*10^{15*51}\gg 10^{81}$

11.3 Зачем изучать мартингалы?

В реальности случайные процессы - не мартингалы. Можно сделать из процесса мартингал, изучить его (все просто считается), сделать какие-то выводы, а затем, используя эти выводы, изучить исходный процесс.

Упражнение

$z_1,z_2,\ldots,z_n$ - независимы и $z_i\sim U[0,1]$ , $x_n=\sum_{i=1}^n z_i$ . Фильтрация: $\mathcal{F}_n=\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ . Возьмем процесс $M_n=a^{x_n}$ . Нужно подобрать число $a$ так, чтобы $(M_n)$ был мартингалом относительно фильтрации $\mathcal{F}_n$ .

Решение

Простой случай: $a=1$ . Действительно, $(M_n)=(1,1,1,1,\ldots)$ . Тогда $\Expect (M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=1=M_n$ , а значит, $(M_n)$ - мартингал.

Теперь попробуем найти $a \ne 1$ . Для этого проверим выполнимость двух условий из определения мартингала.

1 условие: $M_n$ измерим относительно $\mathcal{F}_n$ при известном $a$

2 условие: $\Expect (M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (a^{x_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=\Expect (a^{z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)$ =(знаю $z_1,z_2,\ldots,z_n$ , поэтому могу их вынести)= $a^{z_1+z_2+\ldots+z_n}\Expect (a^{z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=a^{x_n}\Expect (a^{z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)$ =(так как случайная величина $z_{n+1}$ не зависит от $z_1,z_2,\ldots,z_n$ ) = $M_n\Expect (a^{z_{n+1}})$ =(должно быть равно по определению мартингала)= $M_n$ .Тогда

$\Expect (a^{z_{n+1}})=1$

$\Expect (a^{z_{n+1}})=\int\limits_0^1 a^t\,dt=1$

$\int\limits_0^1 e^{t*\ln a}\,dt=\left. \dfrac{e^{t*\ln a}}{\ln a}\right|_0^1=\dfrac{e^{\ln a}}{\ln a}-\dfrac1{\ln a}=\dfrac{e^{\ln a}-1}{\ln a}=\dfrac{a-1}{\ln a}=1$ =>

=> $a-1=\ln a$

Это уравнение имеет единственное решение $a=1$

Получаем:Процесс $M_n=a^{x_n}$ является мартингалом относительно фильтрации $\mathcal{F}_n$ только при $a=1$