Глава 11 Мартингалы

Конспект: Маслова Инна

дата: 14 ноября 2016

11.1 Определение мартингала

11.1.1 Необходимые сведения перед основным определением

  • Определение 1: Случайный процесс в дискретном времени - это последовательность случайных величин x1,x2,x3, Формальная запись: (xn).
  • Определение 2: Фильтрация (поток σ-алгебр) - последовательность σ-алгебр F1,F2,F3, такая, что для любого n FnFn+1 (последующая σ-алгебра содержит предыдущую).
  • Определение 3: фильтрация Fn называется естественной фильтрацией для процесса (xn), если все, что я знаю - значение x, то есть для любого n: Fn=σ(x1,x2,,xn) ( то есть в 1 день я знаю, что было в x1,во 2 день- что было в x1 и x2 и так далее).

11.1.2 Определение мартингала

Процесс (xn) называется мартингалом по отношению к фильтрации Fn, если выполнены 2 условия:

  1. для любого n xn измерима относительно Fn (мне хватает Fn чтобы сказать, чему равно xn) \newcommand{\Expect}{\mathsf{E}}

  2. \Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=x_n

Мартингал - процесс, который в среднем не меняется.

11.2 Задачи

11.2.1 Постановка задачи

Является ли процесс (x_n) мартингалом по отношению к фильтрации \mathcal{F}_n?

  1. z_1,z_2,\ldots,z_n - независимы и z_i\sim N(0,49), x_n=\sum_{i=1}^n z_i. Фильтрация: \mathcal{F}_n=\sigma(z_1,z_2,\ldots,z_n)

  2. z_1,z_2,\ldots,z_n - независимы и z_i\sim U[0,1], x_n=\sum_{i=1}^n z_i. Фильтрация: \mathcal{F}_n=\sigma(z_1,z_2,\ldots,z_n)

  3. Есть колода карт. Всего 52 карты, 4 масти.Я открываю одну карту за другой и смотрю, какую карту я открыла. Пусть x_n - доля тузов в оставшейся колоде после открытия n карт.\mathcal{F}_n - знаю те карты, которые открыты. Рассмотрим, какие значения могут принимать x_0 и x_{51}.

x_0=\dfrac4{52}

После открытия 51 карты, получим, что значения, которые принимает x_{51} будет либо 1 (последняя карта - туз), либо 0 (последняя карта - не туз). Тогда вероятность того, что последняя карта окажется тузом, равна \dfrac4{52}, так как всего 4 туза, а количество карт равно 52.

исход не туз туз
x_{51} 0 1
p \dfrac{48}{52} \dfrac4{52}
  1. Сколько элементов в \mathcal{F_1} и \mathcal{F_2}? Понять, что больше, число элементарных частиц во Вселенной или число элементов в \mathcal{F_2}?

11.2.2 Решение

Для всех случаев нужно проверить выполнение 2 условий из определения мартингала.

a) Рассмотрим 1 случай

1 условие: Я знаю z_1,z_2,\ldots,z_n и так как x_n=\sum_{i=1}^n z_i, то я знаю x_n.

2 условие: \Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=(знаю z_1,z_2,\ldots,z_n, поэтому могу их вынести)=z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=

=z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1})=z_1+z_2+\ldots+z_n=x_n

Пояснения к вычислениям ко 2 условию: (\Expect (z_{n+1})=0 так как z_i=N(0,1)

\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=\Expect (z_{n+1}), так как случайные величины z_1,z_2,\ldots,z_{n+1} независимы)

Оба условия выполняются, значит, процесс (x_n) мартингал по отношению к фильтрации \mathcal{F}_n.

b) Рассмотрим 2 случай

1 условие: Я знаю z_1,z_2,\ldots,z_n и так как x_n=\sum_{i=1}^n z_i, то я знаю x_n.

2 условие: \Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=(знаю z_1,z_2,\ldots,z_n, поэтому могу их вынести)=z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1}|z_1,z_2,\ldots,z_n)=z_1+z_2+\ldots+z_n+\Expect (z_{n+1})=

=z_1+z_2+\ldots+z_n+\dfrac{0+1}{2}=x_n+\dfrac12 \ne x_n

2 условие не выполняется, значит, в этом случае процесс (x_n) не является мартингалом.

c) Рассмотрим 3 случай

1 условие: выполнено, так как если я вижу открытые карты, то могу посчитать долю тузов среди неоткрытых, то есть могу посчитать x_n

2 условие: Спрогнозируем долю тузов, когда открою следующую карту : \Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)

Сейчас: открыто n, закрыто 52-n

Доля тузов среди закрытых карт: x_n

Количество закрытых тузов: x_n(52-n)

Тогда вероятность того, что при открытии n+1 карты будет туз равна доле тузов среди закрытых карт или x_n. Если карта - туз, то после её открытия доля тузов будет равна x_{n+1}=\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}. Если же при открытии карта окажется не тузом, то x_{n+1}=\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}. Ниже представлена таблица с долями тузов и вероятностями исходов.

Исход туз не туз
x_{n+1} \dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n} \dfrac{(52-n)x_n}{51-n}
p x_n 1-x_n

\Expect (x_{n+1}|\mathcal{F}_n)=x_n\dfrac{(52-n)x_n-1}{51-n}+(1-x_n)\dfrac{(52-n)x_n}{51-n}=

=\dfrac{52x_n^2-nx_n^2-x_n+52x_n-52x_n^2-nx_n+nx_n^2}{51-n}=\dfrac{51x_n-nx_n}{51-n}=x_n

2 условие выполняется.

Оба условия выполняются, значит, процесс (x_n) мартингал по отношению к фильтрации \mathcal{F}_n.

d) Последнее задание

\mathcal{F_1} содержит 52 элементарных события (например, карта №1 - крести, карта №2 - туз пик и т.д.). Каждое событие либо включаем либо не включаем, поэтому получим card\mathcal{F_1}=2^{52}

card\mathcal{F_2}=2^{C_{52}^1C_{51}^1}=2^{52*51}\approx(4*10^{15})^{51}=4^{51}*10^{15*51}

Число элементарных частиц во Вселенной 10^{81}

4^{51}*10^{15*51}\gg 10^{81}

11.3 Зачем изучать мартингалы?

В реальности случайные процессы - не мартингалы. Можно сделать из процесса мартингал, изучить его (все просто считается), сделать какие-то выводы, а затем, используя эти выводы, изучить исходный процесс.

Упражнение

z_1,z_2,\ldots,z_n - независимы и z_i\sim U[0,1], x_n=\sum_{i=1}^n z_i. Фильтрация: \mathcal{F}_n=\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n). Возьмем процесс M_n=a^{x_n}. Нужно подобрать число a так, чтобы (M_n) был мартингалом относительно фильтрации \mathcal{F}_n.

Решение

Простой случай: a=1. Действительно, (M_n)=(1,1,1,1,\ldots). Тогда \Expect (M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=1=M_n, а значит, (M_n) - мартингал.

Теперь попробуем найти a \ne 1. Для этого проверим выполнимость двух условий из определения мартингала.

1 условие: M_n измерим относительно \mathcal{F}_n при известном a

2 условие: \Expect (M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=\Expect (a^{x_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=\Expect (a^{z_1+z_2+\ldots+z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=(знаю z_1,z_2,\ldots,z_n, поэтому могу их вынести)=a^{z_1+z_2+\ldots+z_n}\Expect (a^{z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=a^{x_n}\Expect (a^{z_{n+1}}|\mathcal{F}_n)=(так как случайная величина z_{n+1} не зависит от z_1,z_2,\ldots,z_n) =M_n\Expect (a^{z_{n+1}})=(должно быть равно по определению мартингала)=M_n.Тогда

\Expect (a^{z_{n+1}})=1

\Expect (a^{z_{n+1}})=\int\limits_0^1 a^t\,dt=1

\int\limits_0^1 e^{t*\ln a}\,dt=\left. \dfrac{e^{t*\ln a}}{\ln a}\right|_0^1=\dfrac{e^{\ln a}}{\ln a}-\dfrac1{\ln a}=\dfrac{e^{\ln a}-1}{\ln a}=\dfrac{a-1}{\ln a}=1 =>

=> a-1=\ln a

Это уравнение имеет единственное решение a=1

Получаем:Процесс M_n=a^{x_n} является мартингалом относительно фильтрации \mathcal{F}_n только при a=1